Mathematische Aspekte von Tantrix

Topologie

Zunächst einmal enthält jedes Sechseck drei verschiedenfarbige Bögen. Dadurch tritt jede Linie an einer der sechs Seiten eines Teils ein und an einer weiteren Seite wieder aus. Dadurch gibt es keine "Sackgassen", sondern alle Linien sind in sich geschlossen ("Kreise") oder teilen die ausgelegte Fläche in zwei Teile.

Kombinatorik

Warum gibt es gerade 56 verschiedene Tantrix Teile? Zunächst einmal gibt es 4 verschiedene Formen, siehe Abbildung (von links nach rechts). Auf eine mögliche 5. Form, die sich aus 3 in einem Punkt treffenden Geraden zusammen setzt, wurde verzichtet. Zählt man nun die Möglichkeiten, die 4 verschiedenen Formen mit je drei Farben zu färben, so kommt man auf 4*3*2 + 4*3 + 4*3 + 4*2 = 56 Möglichkeiten.

Geometrie: Winkelsumme

Die Linien setzen sich aus 60 und 120 Grad Bögen und Geraden zusammen. Die Winkel der Bögen einer in sich geschlossenen Linie addieren sich auf +-360 Grad, wenn Rechtskurven positiv und Linkskurven negativ gezählt werden. Daraus ergibt sich als einfache Folgerung:

Aus einer ungeraden Anzahl von 60 Grad Bögen und beliebiger Anzahl von Geraden und 120 Grad Bögen einer gemeinsamen Farbe kann niemals eine geschlossene Linie dieser Farbe gelegt werden.

Will man mit zwei 60 Grad Bögen und drei 120 Grad Bögen einen Kreis legen, so müssen die beiden 60 Grad Bögen verschieden orientiert und die drei 120 Grad Bögen gleich orientiert werden. Um den Kreis zu schließen, benötigt man zusätzlich noch 2 Geradenstücke:

Noch einmal Topologie

Für eine Fläche vollständig zueinander passenden Teilen, die einen Kreis enthält gilt offenbar: Jede Linie, die in den Kreis eintritt, verlässt ihn an anderer Stelle wieder.

Folgerung: Die Gesamtheit aller Bögen (incl. Geraden) eines Kreises wird von jeweils einer geraden Anzahl (einschließlich 0) von Bögen einer Farbe geschnitten. Z.B. wird der obige blaue Kreis von 2 gelben Bögen geschnitten.

Damit ist sofort klar, dass aus den folgenden Teilen sicherlich kein blauer Kreis gelegt werden kann: Denn genau 3 rote Bögen schneiden die blauen Bögen.

Symmetrien

Man kann verschiedene Teile passend so zusammen legen, dass bei Drehung um 120 Grad um den Mittelpunkt das Muster aller Linien unverändert an seinem Platz bleibt; nur die Farben werden dabei zyklisch vertauscht: und Hier werden die Farben der blauen, grünen und roten Linien zyklisch vertauscht und die gelben Linien bleiben unverändert.

Anwendung: Maximale Kreise

Es soll je ein blauer, roter, grüner und gelber Kreis gebildet werden, deren Gesamtlänge maximal ist, d.h. jedes innere Teil (mit 6 Nachbarn) gehört zu 3 Kreisen, jedes Kanten-Teil (mit 4 Nachbarn) gehört zu 2 Kreisen und jedes Eckteil (mit 2-3 Nachbarn) gehört zu einem Kreis. Hier findet man leichter symmetrische Lösungen: und und

Sammlung maximaler Kreise