Mathematisches zum Spiel SET

Das Spiel SET ist isomorph zum 4-dimensionalen Vektorraum über GF3:
1. Jeder Karte entspricht genau ein Punkt
2. Jedem SET entspricht genau eine Gerade

Beweis:
Für jede der 4 Kategorien Farbe, Form, Füllung und Anzahl gibt es jeweils 3 Ausprägungen, die mit 0, 1 und 2 benannt werden können (willkürlich). Dann kann jede Karte als 4-Tupel über dem Körper mit 3 Elementen dargestellt werden. 3 Karten, dargestellt als 4-Tupel x, y, z bilden genau dann ein SET, wenn x + y + z = 0 gilt (komponentenweise Addition). Dann liegt z auf der Verbindungsgeraden von x und y, denn es gilt: x + (-1) * (y - x) = 2x - y = - x - y = z.

Folgerungen:
Anzahl der Geraden durch einen Punkt bzw. Anzahl möglicher SETs, die eine bestimmte Karte enthalten: (3 ^ 4 - 1) / (3 - 1) = 40. Dies ist auch (Anz. Vektoren ungleich 0) / (Anz. Skalare ungleich 0).
Zu je zwei Karten gibt es genau ein SET.
Die Anzahl aller Geraden bzw. aller SETs ist : (Anz. aller Punkte) * (Anz. aller Geraden durch einen Punkt) / (Anzahl der Punkte jeder Geraden) = 3 ^ 4 * 40 / 3 = 1080.
Zur Bestimmung der Anzahl aller SETs, deren Karten sich in genau N Kategorien unterscheiden, betrachtet man die Anzahl aller möglichen Vektoren mit genau N Komponenten ungleich 0.
Es gibt 4 * 27 = 108 SETs, deren Karten sich nur in einer Kategorie (z.B. Farbe) unterscheiden.
Es gibt 12 * 27 = 324 SETs, deren Karten sich in genau 2 Kategorien unterscheiden.
Es gibt 16 * 27 = 432 SETs, deren Karten sich in genau 3 Kategorien unterscheiden.
Es gibt 8 * 27 = 216 SETs, deren Karten sich in allen 4 Kategorien unterscheiden.

Welches ist die maximale Anzahl von Karten, die kein SET enthalten?
Offenbar enthalten die 16 Punkte, deren Komponenten nur aus Nullen und Einsen bestehen keine Gerade.
Aber es gibt sogar 20 Punkte, die keine Gerade enthalten, z.B. (0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,0), (1,0,1,0), (2,1,1,0), (2,2,1,0), (2,1,2,0), (0,0,0,1), (1,0,0,1), (2,1,0,1), (2,2,0,1), (0,0,1,1), (1,0,1,1), (0,2,1,1), (1,2,1,1), (2,2,2,1), (2,1,0,2), (2,2,1,2)
oder als Karten:


Anwendung der Mathematik im SET-Spiel

Würden die Karten zufällig vom Computerprogramm ausgewählt, so wären rein statistisch bei 20 Karten gut 15 SETs zu finden! Wie kann man erreichen, dass auch bei 20 "zufällig" ausgewählten Karten nur 2 SETs enthalten sind?

Im Computerprogramm sind 20 Punkte gespeichert, die genau 2 Geraden enthalten. Diese werden durch sogenannte Kollineationen (das sind Punktabbildungen des Vektorraumes, die Geraden auf Geraden abbilden) variiert. Schließlich werden die Punkte noch permutiert (damit die SETs nicht immer an den selben Stellen auftreten).

Die Kollineationen werden wie folgt erzeugt: Jeder Punkt als 4-Tupel wird mit einer invertierbaren 4 x 4 - Matrix multipliziert, dann dazu ein fester Vektor addiert und schließlich noch komponentenweise mit einem Vektor ohne Nullen multipliziert.
Die Spalten der Matrix werden aus (1,0,0,0), (a,1,0,0), (b,c,1,0), (d,e,f,1) gebildet und permutiert, wobei a bis f zufällig mit 0, 1 oder 2 versorgt werden. Die Komponenten des Translationsvektors werden ebenfalls zufällig mit 0, 1 oder 2 versorgt.